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Le but de cet article est d’approfondir les points suivants :

1. La symétrie orthogonale, déplacement dans l’espace ou transformation du plan

2. La symétrie orthogonale, transformation du plan entier dans lui-même

3. Différence entre retournée d’une figure et symétrique d’une figure par rapport à un axe

4. Figure symétrique et symétrique d’une figure par rapport à un axe

5. Figure invariante globalement et points invariants

Remarque sur le vocabulaire : l’expression « symétrie orthogonale » met l’accent sur l’angle droit entre l’axe et le segment qui joint un point et son image ; l’expression « symétrie axiale », actuellement employée par les programmes de collège, met l’accent sur le fait que la symétrie se fait par rapport à une droite. Nous emploierons indifféremment l’une ou l’autre.

1. La symétrie orthogonale, déplacement dans l’espace ou transformation du plan

Dans la situation de référence, nous avons travaillé avec des objets de l’espace, des gabarits, qui ont une certaine épaisseur, même s'ils sont très plats : cette épaisseur se manifeste en particulier par le fait qu'ils ont deux faces que le papier biface nous permet de distinguer plus facilement. En retournant un gabarit, on fait un déplacement dans l’espace et on fait apparaître l’autre face du gabarit. De même, quand on plie, selon un axe, on fait apparaître l’autre face du papier de la partie pliée : on a tourné une partie de la feuille autour du pli, on a retourné une partie de la figure. La figure qui apparaît sur l’autre face si le papier est suffisamment transparent ou si on l’a découpé est la retournée de la figure initiale (ou d’une partie de la figure initiale).

En revanche, le plan mathématique n'a pas d'épaisseur. Si on le représente par une feuille de papier, il faut ne considérer qu'un seul des deux côtés de la feuille de papier. Si on a reporté une figure sur un calque et si on ne s’autorise pas à retourner la feuille de calque ou à la plier, on ne peut que la faire glisser, en la tournant éventuellement, sur l’autre feuille. On ne peut pas alors faire coïncider la figure du calque avec la figure symétrique de la figure initiale par rapport à un axe, sauf si cette figure est elle-même symétrique : il faut passer par l’espace pour obtenir matériellement la retournée d’une figure plane, que ce soit avec du papier calque ou avec un pliage. La symétrie orthogonale n’est pas un déplacement du plan : une figure et sa symétrique par rapport à un axe n’ont pas la même orientation. Avec le pliage, on fait une rotation autour d’un axe dans l’espace mais c’est l’autre côté de la feuille que l’on voit. On ne peut considérer qu’on a envoyé un demi-plan sur l’autre demi-plan qu’en identifiant les deux faces de la feuille (une feuille infiniment fine et transparente).

Si on regarde l’image d’une figure dessinée sur une feuille dans un miroir perpendiculaire au plan de la feuille (donc on utilise l’espace aussi), on voit la figure symétrique par rapport à la droite d’intersection du plan du miroir et du plan de la feuille ; il n’y a pas de retournement de la feuille mais on ne peut voir qu’un demi-plan à la fois. De plus, on n’a qu’une image, un objet virtuel.

Le miroir d’un côté, le pliage et le retournement de l’autre ne font pas appel à la même transformation de l’espace. Cela tient au fait que la symétrie orthogonale dans un plan par rapport à une droite de ce plan est la trace de deux transformations de l’espace : la rotation autour d’un axe qui est un déplacement dans l’espace (elle conserve les objets de l’espace) et la symétrie orthogonale par rapport à un plan qui est un antidéplacement (elle conserve les grandeurs mais transforme les objets de l’espace en un objet qui lui ressemble mais d’orientation différente).

Donc, si on veut introduire et travailler la symétrie sur des objets matériels, on est obligé de passer par l’espace. En revanche, les instruments classiques de géométrie (règle et compas) donnent des moyens de reconnaître une symétrie ou de construire la figure symétrique par rapport à un axe d'une figure tracée sur une feuille sans sortir du plan de la feuille, en se servant des propriétés d’alignement, d’orthogonalité ou de conservation des longueurs, par des tracés de lignes (droites ou cercles). Le quadrillage donne aussi un moyen de construire une figure symétrique sans sortir du plan en se servant de lignes (droites) déjà tracées.

 

 2. La symétrie orthogonale, transformation du plan entier dans lui-même

 

De plus, pour voir la symétrie axiale comme transformation du plan entier dans lui-même et pas seulement d’un demi-plan dans un autre il faut en concevoir la réciprocité.

L’axe de symétrie partage le plan en deux demi-plans, chaque figure d’un demi-plan se transforme en une figure de l’autre demi-plan et réciproquement mais ces deux transformations doivent se concevoir en même temps et comme une seule transformation ; c’est particulièrement important pour concevoir la figure symétrique d’une figure traversant l’axe. Par exemple, pour trouver le symétrique du polygone ci-dessous par rapport à l'axe (figure 1), beaucoup d'élèves de sixième rencontrent des difficultés et ne produisent rien ou seulement une partie de la figure (figure 2).

Polygone1

Figure 1

polygone2

Figure 2 

  polygone3

Figure 3

polygone4

Figure 4 

Le pliage fait apparaître séparément les deux demi-plans, on ne peut pas voir la figure en entier quand elle traverse l’axe, il faut la considérer comme réunion de deux sous-figures. En revanche, le papier calque permet de voir la figure en entier mais le problème est de replacer le calque une fois qu’on l’a tourné : il faut deux points pour le fixer. Remarquons que, dans un miroir placé sur l’axe perpendiculairement à la feuille, on ne verrait que la figure 3 ou la figure 4, suivant l’orientation du miroir : le miroir renforce donc la conception de la symétrie comme transformation d’un demi-plan dans un autre (et dans un seul sens).

 

3. Retournée d’une figure et symétrique d’une figure par rapport à un axe

 

Revenons maintenant sur le problème fondamental que nous avons soulevé dans la situation de référence : si on peut faire coïncider deux figures du plan avec du papier calque, peut-on toujours les faire coïncider avec un pliage ? La réponse est non : étant donné deux figures du plan dont l'une est la retournée de l'autre, on ne peut pas toujours trouver une droite telle que ces figures soient symétriques l'une de l'autre par rapport à cette droite.

Exemple :

glissage_1

 glissage2

symtrieglisse3 

Pour amener le point A sur le point D, il faudrait plier selon la droite (n) ; pour amener le point B sur le point E, il faudrait plier selon la droite (m). Cela s’explique par le fait que le triangle de droite a été obtenu à partir du triangle de gauche par une symétrie selon la droite (d) suivie d’une translation selon cette même droite (pliage puis glissement selon l’axe du pli), ce qu’on appelle une symétrie glissée ou un glissage. Avec du calque, on peut faire coïncider les deux triangles mais on ne peut pas le faire par un pliage.

Pour distinguer la figure de sa position sur la feuille de papier, nous avons décidé d’appeler retournée d’une figure, n’importe quelle figure qui coïncide avec elle après retournement, ce qui peut s’énoncer :

Etant donnée une figure géométrique, la retournée de cette figure est une figure superposable mais d’orientation inverse, autrement dit c’est l’image de la figure par une transformation négative du plan.

Matériellement, cela correspond au retournement du calque ou du gabarit : étant donnée une figure réalisée matériellement par des tracés sur un papier transparent ou par le découpage d’une surface (gabarit), la retournée de la figure est celle que je vois de l’autre côté du transparent, que j’obtiens en retournant le transparent ou le gabarit.

La figure symétrique d’une figure par rapport à un axe quelconque est toujours une retournée de cette figure mais la réciproque n’est pas vraie. Pour parler de symétrie, il faut un axe (une droite).

On peut définir matériellement la symétrie comme transformation à partir du pliage : deux figures tracées sur un papier transparent, sont symétriques l’une de l’autre par rapport à un axe (une droite) si, en pliant la feuille selon cet axe, les figures se superposent exactement.

Remarquons au passage qu’il y a bien des manières de plier une feuille qui ne sont pas équivalentes du point de vue de la réussite du pliage comme des propriétés mathématiques mises en jeu : voir les rubriques actions sur le matériel et propriétés mathématiques et formulations. Avec une figure et un gabarit qui peut se déplacer (ou deux gabarits), on peut seulement parler de retournement.

 

4. Figure symétrique et symétrique d’une figure par rapport à un axe

 

Nous avons évoqué dans la situation de référence les deux aspects de la symétrie orthogonale : propriété d’une figure ou transformation d’une figure. Les diverses réflexions que nous venons de mener incitent à considérer que le retournement d’un gabarit ou d’un calque donne un accès plus facile à l’aspect propriété d’une figure. En effet, avec un papier transparent, on peut dire qu’une figure est symétrique (c’est-à-dire possède un axe de symétrie) avant d’avoir déterminé un axe de symétrie (il peut y en avoir plusieurs). Après l’avoir reproduite sur papier transparent, il suffit en effet de vérifier qu’on peut la faire coïncider avec chacune des deux figures dessinées de chaque côté du papier transparent.

En revanche, pour parler de symétrique d’une figure par rapport à un axe, il faut connaître l’axe à l’avance ; le pliage est donc adapté (en tenant compte de toutes les remarques du paragraphe 2). Pour définir la figure symétrique d’une figure par rapport à un axe avec du papier transparent sans pliage, il faut dire comment replacer le transparent, par exemple en choisissant deux points qu’on va replacer sur eux-mêmes après retournement, c’est-à-dire deux points invariants, ce qui fixe l’axe (voir le paragraphe 5 ci-dessous). Nous avons vu dans l’exemple du paragraphe 3 qu’il ne suffit pas de décalquer l’axe et de replacer l’axe sur lui-même : pour éliminer le glissage, il faut de plus fixer un point de l’axe (voir paragraphe 5 ci-dessous).

On voit au passage le lien entre la symétrie comme propriété d’une figure et la symétrie comme transformation du plan dans lui-même : une figure est symétrique par rapport à un axe si sa figure symétrique par rapport à cet axe est elle-même.

 

5. Figure globalement invariante et points invariants

 

Dans tout ce qui précède, que ce soit avec le pliage, le retournement ou le miroir, nous n’avons considéré que l’invariance globale des figures. C’est d’ailleurs ce point de vue que recommandent les programmes du primaire et de sixième. En sixième, la transformation ponctuelle ne doit pas être un point de départ mais un objectif. Cependant, seule la transformation ponctuelle se définit facilement en mathématiques (l’image du point M dans la symétrie d’axe (d) est le point M’ tel que (d) soit la médiatrice du segment [MM’]. Comment alors passer d’une propriété ou transformation globale d’une figure à des propriétés ou des transformations des points de cette figure, de la notion de figure globalement invariante à celle de figure invariante point par point ?

Nous avons vu que dans la symétrie glissée par rapport à un axe (voir l’exemple du paragraphe 3), l’axe est globalement invariant alors que dans la symétrie par rapport à cet axe, chaque point de l’axe est invariant.

Dans le pliage, il est clair que les points de l’axe ne bougent pas ; le pliage sur calque permet de matérialiser la correspondance entre une ligne et son image, un point et son image. La fabrication de figures symétriques à partir de figures qui ne le sont pas par retournement d’un calque (voir situations balle de tennis et triangle et zigzag) fait apparaître des intersections de lignes donc certaines correspondent à des points invariants et permettent de caractériser les points de l’axe comme ensemble des points invariants dans la transformation ainsi que la relation entre un point et son image : le segment qui joint un point à son image coupe l’axe en son milieu et est perpendiculaire à l’axe.

Pour plus de détails sur les liens entre actions sur le matériel et les propriétés mathématiques mises en jeu, voir la rubrique actions sur le matériel et propriétés mathématiques.

Pour plus de détails sur le lien entre les formulations concernant les actions sur le matériel et les formulations mathématiques, voir la rubrique formulations.