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Une palette d'outils, d'instruments divers à laisser ou bien à prendre en compte par les enseignants.

 Il est vraiment dommage de ne pas utiliser la possibilité de jouer sur les instruments, d'accepter de prendre ceux-ci et pas ceux-là, à moins que, cela ne soit l'inverse, ceux-là et pas ceux-ci. Dans beaucoup de classes on laisse à disposition des élèves tous les instruments, sans tenir compte du coût d'utilisation de ces instruments en termes de connaissances à mettre en oeuvre et de difficulté des manipulations. Nous vivons une époque où les produits fabriqués ont une valeur marchande, eh bien, cette logique là peut être très profitable pour les apprentissages: "Réussir à fabriquer une figure au moindre coût !!!". Le coût des instruments sera choisi en fonction des objectifs d'apprentissage.

Si un élève de CE2 sait construire le milieu d'un segment à l'aide d'une règle graduée, sait-il réagir pour construire ce milieu quand il n'a plus de règle graduée?

Les instruments de tracé de lignes:

Au cycle 3, sur les tables, en géométrie, nous voyons deux familles d'instruments: la famille des instruments de tracé: règle, équerre, compas et la famille des instruments de mesure : règles graduées en centimètres et parfois en inches, les rapporteurs gradués en degrés. Mais les instruments de mesure ne sont à sortir des cartables que lorsque l'on aborde le domaine des grandeurs mesurables, domaine qui n'est pas celui de la géométrie, il suffit pour s'en convaincre de relire les IO. Demander à chaque élève de construire un segment de 5 cm est bien plus simple que de faire des polycopies pour que chaque élève dispose d'un segment de même longueur.  Cette facilité est tendancieuse et on peut laisser croire qu'en géométrie on cherche à mesurer avec une règle graduée ou que pour tracer un segment la règle graduée est nécessaire.

Nous choisissons de laisser les instruments de mesure dans les cartables quand on fait de la géométrie, mais à d'autres moments nous les sortons du cartable quand on aborde les grandeurs géométriques et leurs mesures.

En géométrie, nous remplaçons la règle graduée par une bande de carton rigide à bords parallèles, bande sur laquelle il est possible d'inscrire des petits traits dans le but d'être capable de faire des reports de longueur. Nous essayons d'être vigilant pour ne pas dire mesurer une longueur mais reporter une longueur. (Les élèves peuvent nous aider en nous donnant un gage.)

Question: Une équerre est-elle un  instrument qui :

  1. remplace un coin d'un carré,
  2. permet de construire un angle droit,
  3. construit deux droites perpendiculaires,
  4. construit une droite perpendiculaire à une autre droite?

Evidemment en tant qu'instrument permettant de tracer une ligne il n'y a qu'une réponse possible: la réponse n°4, mais, avant d'être cet instrument de tracé d'une ligne, l'équerre a eu d'autres fonctions comme celle de vérifier si un losange est un carré ou si deux droites sont perpendiculaires.

La règle non graduée elle aussi a une histoire. Elle a pu servir à vérifier qu'un bord d'une figure est bien droit, elle a pu servir à prolonger une ligne droite, elle a pu servir à reconstituer un coin d'un gabarit de triangle abimé, mais en tant qu'instrument de tracé de ligne, il lui faut deux points pour tracer une ligne ou une ligne déjà tracée pour la prolonger.

On peut tracer un cercle avec une ficelle, une tige qui tourne autour d'un point, avant que cette tige ou le troisième côté imaginaire d'un triangle ou le côté manquant du triangle formé par l'instrument de tracé appelé compas.
Les instruments de tracé géométrique ont tous une histoire (voir Article sur les instruments) dont il serait bon de tenir compte dans une classe, une histoire à conter.

Comment un élève de CE2 peut-il construire le milieu d'un segment sans règle graduée?

Les réponses sont variées, nous interprétons celles-ci suivant le principe de dé-construction, reconstruction dimensionnelle, qui consiste simplement à varier la dimension de l'environnement du problème. Le segment est un objet mathématique de dimension 1, nous intégrons cet objet dans un objet de dimension 2, nous avons un vécu, une pratique des objets de dimension 2, des connaissances mathématiques et alors nous pourrons peut-être conclure.

Exemple1: Le segment est le côté le plus long d'un rectangle, le rectangle est plié et le problème résolu.

Exemple2: Le segment est un côté d'un triangle dont on va construire le contour après avoir posé le gabarit du triangle là où il faut et le problème est résolu.

Exemple3: Le segment est une diagonale d'un parallélogramme, que l'on construit non pas avec le gabarit d'un triangle, mais avec une règle à bords parallèles, on trace l'autre diagonale et le problème résolu.

Certes des connaissances pour construire ces objets 2D et relatives à ces objets 2D sont nécessaires, mais n'est-ce pas là une partie de notre travail?

 

Les instruments pour tracer des objets 2D:

L'équerre est un des ces instruments, en effet si on fait le contour d'une équerre on dessine un triangle rectangle ou si ne fait pas le contour complet, on peut dessiner le coin d'un carré, en traçant deux lignes non alignées on a construit une partie d'un objet 2D.

Une règle à bords parallèles est aussi un de ces instruments, une règle à bords parallèles permet de construire un morceau d'un rectangle, d'un parallélogramme.

(Avec une règle à bords parallèles peut-on tracer le milieu d'un segment? On dit toujours que pour tracer un trait il faut que la règle passe par deux points, mais on oublie de dire du même côté du bord de la règle...)

Tout gabarit peut permettre de tracer des objets 2D ainsi que tout pochoir.

Il en est de même des calques et papiers quadrillés et pointés.

Le pliage d'un support permet aussi de laisser des traces de tels objets, les traces sont les plis laissés dans le support qui a été plié et déplié.

 

Une logique d'apprentissage relative aux instruments:

En ce qui concerne les instruments construisant des éléments 2D: "Une souris dans le placard."

Arriver à ce qu'un élève ne perçoive pas uniquement une figure comme un assemblage de surfaces mais aussi comme un assemblage de lignes. Cette transition peut être facilitée en faisant évoluer les instruments qui permettent de construire des surfaces vers des instruments avec lesquels il devient difficile de construire des surfaces voire même impossible et donc de devoir procéder autrement. Cette transition sera facilitée par l'introduction, dans l'armoire de la classe qui contient des gabarits et des pochoirs, de petites souris qui rongent fort intelligemment ces gabarits et ces pochoirs. (voir article Grand N n°76)

En fin d'apprentissage ne retenir que les instruments permettant de construire droites et cercles.

Un moyen: "Réussir à fabriquer une figure au moindre coût !!!".

Imaginons que dessiner un trait avec une règle coûte 1 euro et que dessiner un cercle avec un compas coûte aussi 1 euro, que vous désiriez que vos élèves abandonnent l'équerre. Est-ce 5 euros est un prix correct pour l'utilisation d'une équerre pour que les élèves réussissent à construire un carré sans utiliser l'équerre? Quel  est le coût minimal de fabrication d'un carré?

 

Pour revenir à : Une situation de référence pour comprendre la symétrie orthogonale