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Une situation de référence pour comprendre la symétrie orthogonale

La situation décrite ci-dessous n’est pas telle quelle une situation de classe ; elle sert à illustrer les savoirs fondamentaux sur la symétrie orthogonale, ceux dont on vise l’apprentissage au long de la progression et qu’on espèrera disponibles en fin de 6ème. Elle permet aussi de poser un certain nombre des problèmes qu’on va rencontrer dans l’enseignement et l’apprentissage de la symétrie orthogonale.

 

On dispose de deux feuilles de papier pliées avec des bords déchirés qu'on ne considèrera pas, disons une feuille bleue et une feuille rouge ; on découpe une forme quelconque dans chaque feuille mais dans l'une des feuilles, disons la feuille rouge, le pli est coupé : le bord de la forme découpée s'appuie sur le pli ; dans l'autre feuille, la feuille bleue, la forme découpée ne rencontre pas le pli ni le bord.

                                                             

MJPG_R1

MJPG_B1

 

Si on ouvre la feuille rouge, on a un seul morceau qui tombe et un seul trou dans la feuille, le morceau qui tombe est traversé par le pli, comme la feuille.

Si on ouvre la feuille bleue, on a deux morceaux et deux trous dans la feuille, un de chaque côté du pli. Nous appellerons pochoir (bleu ou rouge) la feuille qui reste quand les morceaux sont tombés.

                                                              MJPG_R2

MJPG_B2

A l'école primaire, on travaille sur des objets matériels pour introduire du vocabulaire mathématique qui est, lui, relatif à des objets abstraits. Cependant, les difficultés pour exprimer les actions sur le matériel qui traduisent des propriétés mathématiques peuvent correspondre à des points délicats du point de vue mathématique, sources d'erreur parfois résistantes. Nous allons, en nous appuyant sur cet exemple, exprimer le plus précisément possible les actions sur le matériel pour faciliter leur traduction mathématique et dégager quelques-uns des points importants concernant l'enseignement et l'apprentissage de la symétrie orthogonale. Pour cela, nous employons le mot figure dans un sens qui n'est pas précisé. On peut l'entendre au sens géométrique mais aussi à propos des situations concrètes, notamment sur l'exemple, comme quelque chose de plus général et plus abstrait que « morceau », « trou », « encoche », « gabarit », « forme » : la caractéristique commune de tous les morceaux ou encoches qu'on peut superposer. C'est déjà un pas vers la géométrie.

De quelle(s) figure(s) parle-t-on quand on parle d'une « figure symétrique » ou de « figures symétriques par rapport à un axe » ?

Dans le premier cas, le pochoir rouge, le terme figure n'est pas ambigu : on obtient la même figure pour représenter le trou dans le pochoir ou le morceau découpé qui garde la trace du pli. Cette figure est symétrique par rapport à l'axe défini par le pli.

Dans le deuxième cas, le pochoir bleu, il apparaît deux et même trois figures : chacun des trous fournit une figure (figure 1 et figure 2) qui correspond à un des morceaux découpés. Sur le pochoir, ces figures sont symétriques l’une de l’autre par rapport à l'axe défini par le pli. La figure 2 est symétrique de la figure 1 par rapport à l'axe (le pli) et la figure 1 est symétrique de la figure 2 par rapport à l'axe. Mais on peut considérer aussi la figure globale (figure 3) correspondant aux deux trous du pochoir. C'est une figure symétrique par rapport à l'axe défini par le pli. Cependant, est-ce comme dans le premier cas la même figure que celle qui est constituée par les deux petits morceaux tombés sur la table ? Nous y reviendrons.

 

On voit sur l’exemple apparaître deux aspects reliés de la symétrie orthogonale :

- une propriété d’une figure (la figure rouge ou le trou dans le pochoir rouge ou les deux trous du pochoir bleu) : la figure est symétrique ou la figure admet un axe de symétrie ; on a affaire à une seule figure dont on formule une propriété.

- la relation entre deux figures (entre les deux trous dans le pochoir bleu) ; on a alors deux figures en présence et une relation entre ces deux figures relativement à un axe qui est précisé : la figure F est symétrique de la figure F’ par rapport à l’axe (d).

Nous avons vu aussi qu'un lien existe entre ces deux aspects : Dire que les figures 1 et 2 sont symétriques l’une de l’autre par rapport à l'axe revient à dire que la figure constituée par l’ensemble des deux figures est symétrique par rapport à l'axe au premier sens (propriété d’une figure).

 

De plus, ces deux aspects sont aussi reliés à deux autres aspects sans se superposer tout à fait avec eux : l’aspect statique (propriétés d’une figure ou relation entre figures) et l’aspect dynamique (transformation de figures : la figure F se transforme en une figure F' différente ou en elle-même).

 Papier biface. figure et « figure retournée »

Supposons que nous ayons fait le découpage précédent dans du papier biface (par exemple du papier de brouillon) qui permet de distinguer facilement le recto du verso et essayons de remettre les morceaux en place. Ils rentrent chacun dans leur encoche sur l’endroit du papier. Retournons maintenant chacun des trois morceaux et essayons de les remettre en place.

                                                              MJPG_R4 MJPG_R3

 

     

Pour la feuille rouge, on constate que le morceau s’ajuste exactement dans l'encoche au recto comme au verso : on peut le voir rouge uni ou avec des traces écrites. Le morceau retourné s’ajuste exactement dans l’encoche : en retournant le gabarit on a la même figure.

                                                            MJPG_B4 MJPG_B3

Pour la feuille bleue, chaque morceau ne rentre au recto que dans une seule encoche mais il rentre dans l'autre si on le retourne sur son verso. On peut donc voir les faces bleues à leur place initiale ou les faces écrites en les échangeant. Le morceau 2 retourné s’ajuste dans le trou de la figure 1 et le morceau 1 retourné s’ajuste dans le trou de la figure 2. Le morceau 2 retourné se superpose donc exactement sur le morceau 1 et le morceau 1 retourné se superpose donc exactement sur le morceau 2. La figure 1 (gabarit ou encoche) est la retournée de la figure 2 et réciproquement.

 Un problème fondamental : la différence entre retournée et symétrique

Nous avons constaté que les figures formées par les trous dans le pochoir bleu étaient symétriques par rapport à l’axe du pli. Quant aux gabarits découpés, ils peuvent se superposer mais ce n’est pas la même face qui est sur le haut. Chacun est le retourné de l’autre. Que se passe-t-il si on les colle sur une feuille de papier, recto vers le haut ?

Si on décalque le bord de l’un des gabarits et qu’on retourne le papier calque, on peut le faire coïncider avec le bord de l’autre gabarit ; les figures formées par les bords sont chacune la retournée de l’autre.

Mais peut-on replacer le pochoir pour que les morceaux (gabarits) collés bouchent exactement les trous ? Peut-on fabriquer un autre pochoir qui le permette ? Peut-on plier la feuille pour faire coïncider l’un des gabarits collés avec le retourné de l’autre ? En général, non car les deux figures formées par les bords, tout en étant chacune la retournée de l’autre, ne sont pas symétriques par rapport à un axe. Pour qu’elles le soient, il faut de plus qu’elles soient positionnées d’une certaine manière par rapport à cet axe.

Pour continuer, vous pouvez revenir à l'article "Pour mieux comprendre notre approche de la symétrie" ou lire un des articles suivants :

 Compléments sur les liens entre pliage, retournement, symétrie pour approfondir le contenu mathématique de la symétrie orthogonale, en particulier sur la différence entre symétrique d'une figure et retournée d'une figure.

Pour mieux comprendre notre approche de l’enseignement de la géométrie pour en savoir plus sur l'approche de la géométrie dans laquelle se situe cette séquence

Types de problèmes liés la symétrie axiale pour envisager les différents types de problèmes qu'on peut proposer aux élèves du CE2 à la sixième.

Jeux sur les instruments pour réfléchir aux instruments (au sens large) et supports pour faire de la géométrie et à la manière de les gérer pour favoriser les apprentissages.

Actions sur le matériel et propriétés mathématiques pour réfléchir au choix du matériel et à la manière de le gérer en lien avec les notions mathématiques visées et les formulations.

Formulations de la symétrie axiale pour réfléchir aux formulations et à leurs possibilités d'évolution dans les différents contextes matériels et les différentes situations mathématiques.

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