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La construction de figures à l’aide des instruments conventionnels comme la règle (graduée), l’équerre et le compas reste une référence culturelle prégnante pour l’apprentissage de la géométrie. Et en l’associant au «vocabulaire» qui désigne les figures classiques ainsi que les relations entre les droites ou les segments tracés pour les construire, on pense généralement que les élèves vont découvrir et s’approprier les notions géométriques de base. Mais comme la plupart des enseignants ne cessent d’en faire l’expérience, les choses ne se passent pas aussi simplement. Cette approche devient vite fastidieuse, sinon décourageante, et il est difficile de faire entrer les élèves dans la géométrie.

L’utilisation des instruments conventionnels ne permet ni d’apprendre à voir les figures géométriques classiques ni d’analyser les propriétés géométriques de figures. Leur utilisation ne permet pas de faire le saut de la manière naturelle de voir les figures, qui reconnaît les formes comme des contours de surface et qui les analyse comme des assemblages de formes, à la manière mathématique de regarder, qui se focalise sur les réseaux de droites sous-jacents et qui les analyse comme des relations entre ces lignes. L’utilisation des instruments conventionnels ne peut être introduite qu’après avoir aidé les élèves à prendre conscience du saut à faire. Quelles activités peuvent favoriser ce retournement de la manière de voir, sans lequel les notions géométriques restent un vocabulaire mort et les « savoirs » fragmentaires acquis des savoirs que l’on sera incapable d’utiliser en dehors de ce qui aura été le contexte particulier de leur apprentissage ?

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Les instruments qui peuvent être utilisés ne sont pas seulement les instruments conventionnels, mais également un gabarit, un papier calque , ces deux outils permettant deux opérations : la superposition de surface en faisant coïncider leur contour et leur retournement pour voir si la coïncidence par superposition est conservée ou non. Ainsi ces deux outils introduisent une possibilité d’analyser les figures qui garde la manière naturelle de voir mais qui oriente vers la manière mathématique de regarder. On peut également, sans recourir à l’un de ces deux outils, recourir à un simple pliage de la feuille selon une droite identifiée à l’œil et utilisée implicitement comme axe de symétrie. Enfin on peut utiliser une règle non graduée sur laquelle on pourra faire une marque pour effectuer des reports de longueur. Les procédures pour accomplir la tâche ne vont donc pas être les mêmes selon les instruments que l’on va utiliser.

Voici, à titre d’exemple, différentes manières de restaurer la figure incomplète du sapin.

(1) Fermer directement la surface de façon à ce que ses bords soient à peu près « pareils de chaque côté ». Cet ajustement perceptif peut être fait aussi bien à main levée qu'en utilisant une règle pour que les tracés soient droits. Il n’y a ici aucune opération intermédiaire.

(2) Superposer l’endroit et l’envers de la figure à compléter, en utilisant un gabarit. Cette opération de retournement est évidemment un geste qui se fait dans l’espace D3 et dont seul le résultat en D2 est retenu. Cela met en œuvre le fait qu’une figure symétrique se superpose avec son retourné.

(3) Plier la feuille selon une droite qui semble la partager en deux moitiés superposables. Le pliage fait apparaître cette droite, mais avec le pliage de la feuille la superposition du contour complet et du contour incomplet est difficile à voir. Cela est aussi un geste qui se fait dans l’espace 3D.

(4) Reproduire le contour incomplet de la figure de départ et le retourner pour superposer la reproduction sur cette figure de départ. Cela exige l’utilisation d’un papier calque et d’une règle. Cette opération s’apparente à (2). On peut aussi ne reproduire que la partie du contour qui correspond à la « moitié » complète du contour du sapin. Cette opération s’apparente alors à (3). Mais la superposition du retourné exige une discrimination plus fine. Comment replacer la demi-figure après retournement ? Ceci suppose de voir que certains points (le sommet, l’extrémité du « demi pied » du sapin) ou segments (le pied du sapin s’il a été reproduit intégralement) sont invariants (par la symétrie axiale en jeu). Cela met en oeuvre le fait que deux figures sont symétriques par rapport à un axe si lorsque je retourne l’une des figures et la positionne de façon à ce que les points appartenant à l’axe coïncident, elle se superpose exactement à l’autre figure.

(5) Utiliser la propriété de conservation des longueurs par symétrie axiale et le fait que deux droites images l'une de l'autre par symétrie axiale, si elles en sont pas parallèles à l'axe, se coupent sur cet axe pour prolonger les segments et effectuer des reports de longueurs.

(6) Construire les images des points remarquables (angles rentrants ou saillants) du contour incomplet. Cela se fait en utilisant une règle pour déterminer deux points de l’axe de symétrie et le tracer, puis d’une équerre et de la règle pour reporter des longueurs.  

  La particularité de cette démarche est qu’on ne travaille qu’avec des unités visuelles 1D et 0D et qu’il n’y aucune opération à faire en 3D. Il faut donc voir la figure comme un réseau 2D d’intersections de lignes. La symétrie est ici une transformation du plan. Deux propriétés sont explicitement mises en œuvre, Une symétrie axiale laisse invariant tout point de l'axe de symétrie, et deux points A et A’ sont symétriques par rapport à une droite d si d est la médiatrice du segment [AA’].

La comparaison de ces différentes procédures met en évidence ce qui fait la complexité souvent peu apparente de l’enseignement de la géométrie et surtout de son apprentissage. Trois observations s’imposent. Tout d’abord la résolution d’une tâche peut changer complètement selon les instruments que l’on utilise. En second lieu, les trois premières procédures (1), (2), (3) ne mobilisent que la manière naturelle de voir des figures, les dernières (5) (6) requièrent la manière mathématique de regarder, la quatrième étant un peu intermédiaire entre les deux. En troisième lieu la formulation et l’utilisation explicite de propriétés mathématiques exigent la manière mathématique de voir. 

 

 

Chaque enseignant peut découvrir et explorer par lui-même cette complexité, rien qu’en proposant dans sa classe la tâche de restauration de cette figure incomplète de sapin, avec comme consigne celle que nous avons indiquée en laissant à la disposition des élèves des instruments différents. Il pourra observer à travers la diversité des productions obtenues les difficultés intrinsèques au passage des procédures qui en restent aux unités visuelles 2D à celles qui se limitent aux unités visuelles 1D et surtout 0D. Il pourra également constater les difficultés d’une partie des élèves dans l’utilisation des instruments (par exemple un ajustement trop imprécis de la règle, le placement de l’équerre, etc.).

Le principal intérêt de ce type de tâche est de permettre une progression d’acquisition dans les activités proposées, dont la variable didactique principale sera d’abord le choix de l’instrument et donc de la procédure à mettre en œuvre. Pour organiser une telle progression deux conditions sont essentielles pour la motivation et l’implication des élèves.

— l’introduction d’un nouvel instrument ne doit pas se faire en supprimant ou en interdisant l’instrument privilégié dans l’activité précédente. Afin d’inciter les élèves à utiliser le nouvel instrument, un coût d’utilisation de chaque instrument en termes de bonus et de malus peut être fixé en accord avec eux. Mais pour la validation des productions faites les élèves peuvent recourir aux instruments et aux pratiques qui leur sont plus familières.

— Bien que l’on puisse théoriquement effectuer la progression sur la même figure, il faut varier les figures d’une activité à une autre. Le choix de la figure est alors fait de manière à rendre frappante l’importance de l’opération que l’introduction du nouvel instrument doit favoriser. Ainsi la figure dite de la balle de tennis (voir plus loin) rend spectaculaire les opérations de retournement et de superposition en faisant apparaître symétrique une figure qui ne l’est pas au départ.

Sur ce site on présente un éventail d’activités, c’est-à-dire de tâches et de figures, analysées en fonction de l’instrument privilégié pour leur résolution. Toutes ces activités ont déjà été présentées dans des classes, et pour certaines on trouvera également des comptes-rendus d’observation.

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