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La géométrie peut être considérée au niveau élémentaire comme un moyen de décrire les formes et les grandeurs qui leur sont associées, c’est-à-dire longueurs, aires, volumes et angles.

Le terme forme est employé dans la vie courante et en géométrie en primaire et au début du collège avec des sens différents à la fois pour caractériser des objets de l’espace et des objets du plan.

  • Un objet de l'espace rigide, fini ou borné, a une forme. Un dé a pour forme un cube. Une pièce de monnaie a pour forme un cylindre et ses deux faces planes ont pour forme un disque...
  • Si on s’intéresse à la géométrie plane, ce qui sera le cas dans la suite de ce texte, on limite souvent la notion de forme aux objets aplatis (voir l’usage de « forme géométrique » dans l’enseignement maternel et primaire), ceux dont l'épaisseur est très petite afin de comparer leur forme en se servant de la superposition. Les objets plats en question peuvent être des morceaux de carton, mais aussi les pièces d'un puzzle, ce sont des objets manipulables que nous appellerons gabarits.

Cet usage du mot « forme » présente au moins trois difficultés :

1- Un gabarit est un objet biface déplacé dans l'espace par les élèves, alors qu'en géométrie plane, une étendue, une surface n'a qu'une seule face. Dans des activités proposées par des jeux éducatifs en maternelle, une des deux faces d'un gabarit n'est pas retenue ou bien on ne propose que des gabarits qui ont deux faces de même forme (qui se superposent encore après le retournement de l’une d’elles, c’est-à-dire symétriques). En Grande Section de maternelle ou au CP des élèves confrontés à des jeux avec le Tangram sont souvent perplexes pour placer la pièce appelée "parallélogramme", gabarit qui a bien deux faces distinctes.

2- Pour des figures singulières (celles qu'on désigne par un nom qui fait partie du vocabulaire géométrique), par exemple si l'on parle de la forme "des triangles", "des carrés", "des rectangles", "des parallélogrammes", ou si l’on parle de la forme triangulaire, de la forme carrée, de la forme rectangulaire, la notion de forme n'est pas la même car deux figures peuvent être triangulaires, carrées ou rectangles sans pour autant être superposables.

3- Une autre difficulté apparaît au cycle 3 et au collège : Si deux figures sont des rectangles, ces deux figures n'ont pas toujours la même forme et si deux rectangles ont leurs côtés proportionnels, on dit qu'ils ont la même forme. Il en est de même pour deux triangles.

Nous réserverons le terme figure à des tracés sur papier ou sur écran d’ordinateur, à main levée ou avec des instruments (au sens large : un gabarit est un instrument).

La notion de figure s'enrichit tout au long de la scolarité de nouvelles significations :

- Au cycle 1, la figure est une forme (surface) dessinée ou le contour de cette forme, de ce gabarit, ce que nous appellerons une figure simple

- Au cycle 2, la figure s’enrichit de lignes autres que le contour : elle est aussi l'assemblage de lignes qui contiennent le contour. On peut souvent la voir comme un assemblage de figures simples juxtaposées, mais pas toujours (par exemple une figure où des lignes ne se referment pas comme un X ou un b).

- Au cycle 3 et au collège, une figure est aussi une configuration de points : la figure est déterminée par des points et des lignes qui joignent certains d’entre eux. Les lignes (segments ou arcs de cercle) peuvent être tracées avec des instruments (règle et compas notamment) dont l’usage est à construire en même temps que les notions géométriques qu’ils permettent de représenter.

Voyons les liaisons entre ces différents regards posés sur une figure.

   
     
  Mais toutes les figures ne sont pas des contours de surface, ni des assemblages de contours,des lignes non fermées sont aussi des figures.  

Les regards portés sur une figure ne sont pas équivalents. La langue mathématique, pour nommer ou décrire une figure, valorise la configuration de points alors que l'émergence de ce regard particulier est tardive. Il est donc important de s’interroger sur les liaisons entre ces différents regards posés sur une figure en lien avec les instruments qui permettent de les construire.

La représentation d'une figure comme un assemblage de lignes et non comme un assemblage de contours de surfaces est nécessaire pour que les élèves de fin du cycle 2 et du cycle 3 comprennent les activités qui leur sont proposées. En effet on leur demande soit de construire, reproduire des figures qui presque toujours sont des surfaces, avec des données concernant les lignes, et en se servant d'instruments qui permettent de construire, de tracer des lignes soit de décrire une surface en parlant de lignes et de points.

En géométrie élémentaire, il est en général question de décrire ou construire des objets de dimension 1 (lignes) avec des objets de dimension 0 (points) et des longueurs, des objets de dimension 2 (surfaces) avec des objets de dimension 1 ou 0 et des grandeurs, des objets de dimension 3 (solides) avec des objets de dimension 2, 1 ou 0 et des grandeurs.

Les grandeurs utilisées pour la description des objets de dimension 2 ou 3 sont essentiellement les longueurs et les angles : les aires et volumes peuvent intervenir aussi mais ils sont nécessairement en relation avec des longueurs quand il s’agit de décrire un objet.

Il faut donc comprendre les relations entre un cube et des surfaces carrées, entre une surface triangulaire et des côtés, entre des segments et des extrémités, entre une ligne circulaire et certains points. Il ne va pas de soi pour un élève qu'une seule surface puisse être associée à trois côtés, que trois essais de superposition soient nécessaires pour être sûr que deux triangles n'aient pas la même forme.

Si les élèves comprennent qu'un solide a une surface comme enveloppe, que le contour d'une surface est une ligne et que les extrémités d'une ligne sont des points, la notion de point comme intersection de deux lignes est plus complexe et chercher un point comme intersection de deux lignes, est un vrai problème.

Un élève va donc apprendre dès le début du cycle 2 (voire avant)

- à identifier des objets plats qui ont la même forme, à en dessiner le contour, à en nommer certaines.

- à décomposer un contour et, comme les formes proposées sont très souvent rectilignes, il apprend à segmenter un contour.

- à recomposer une figure, un assemblage de formes avec des parties de gabarits, et plus tard avec des segments, des lignes rectilignes ou circulaires.

- à construire des enveloppes de solides, avec des figures planes.

Les actions de décomposition et de recomposition d'une figure (en termes de surfaces comme de lignes) sont fondamentales pour l'apprentissage.

Le problème pour un enseignant est de définir les éléments de décomposition à introduire pour reproduire ou construire une figure. Ces éléments dépendent de l'âge et des capacités des élèves ainsi que des actions à réaliser sur la figure en fonction d'instruments mis à disposition. C’est à réfléchir sur ce jeu sur les éléments de décomposition et les instruments à disposition que nous vous invitons dans la suite.