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La démarche de restauration d'une figure matérielle est une bonne initiation à la démarche de démonstration. En effet, reproduire ou restaurer une figure suppose de s'appuyer sur certaines propriétés pour réaliser une figure qui vérifiera d'autres propriétés, conséquences de celles-là. De même, dans la démonstration, on connaît certaines propriétés d'une figure et on cherche à en déduire d'autres, conséquences de celles-là. La grande différence est que, dans un cas, la validation des propriétés se fait à l'aide d'instruments matériels et dans l'autre à l'aide d'un raisonnement logique appuyé sur des définitions et théorèmes qu'on peut considérer comme des instruments théoriques.

Précisons ce qui se passe dans chaque cas.

1) Cas de la reproduction (restauration) d'une figure matérielle avec des instruments de tracé

La figure à reproduire fait l'objet d'une recherche plus ou moins exhaustive des propriétés de la figure, dans cette liste certaines propriétés sont sélectionnées dans un ordre adéquat pour reproduire la figure en fonction des instruments mis à disposition. Les autres propriétés peuvent être vérifiées avec les instruments.

Dans le cas d'une restauration, une partie de la figure à obtenir est déjà tracée (l'amorce). Des propriétés de la figure à obtenir sont donc déjà vérifiées ; il faut trouver des propriétés permettant de relier les autres parties de la figure à obtenir à cette amorce qui est prise comme point de départ.

Pour la reproduction comme pour la restauration, il peut être nécessaire d'enrichir la figure à reproduire  par de nouveaux tracés pour faire apparaître les propriétés nécessaires pour la construction. Cet enrichissement se fait à l'aide des instruments de tracé.

Les propriétés qui ont servi à la construction sont codées, on va apprendre à justifier que la figure construite est bien conforme à la figure demandée.

En effet, la validation de cette reproduction peut se faire par superposition mais aussi par vérification avec les instruments des propriétés de la liste.

On peut, lors de ces reproductions de figures matérielles donner aux élèves l'occasion de s'apercevoir que des constructions différentes peuvent aboutir à une même figure et s'interroger sur les différents cahiers des charges...

Dans le cas de la construction d'une figure matérielle, les propriétés de la figure à construire ne sont pas à identifier dans un modèle mais sont données sous forme de texte ou de figure à main levée codée. Si les connaissances de celui qui construit la figure ne lui permettent pas de répondre directement au problème, il est amené à rechercher les propriétés sur lesquelles peut s'appuyer la construction en faisant l'analyse d'un schéma codé (souvent à main levée) portant les propriétés à obtenir pour les relier éventuellement à celles qu'il sera possible d'utiliser pour la construction.

 

2) Cas de la démonstration

Dans ce cas, certaines propriétés d'une figure géométrique sont décrites dans un énoncé. En général (ce n'est pas le cas dans un problème de construction), ces propriétés permettent de construire avec des instruments une figure matérielle qui la représente. Il s'agit de déduire d'autres propriétés de la figure.

Il s'agit donc cette fois d'enrichir une figure codée. L'enrichissement peut se faire de deux manières : en faisant apparaître des propriétés conséquences de celles qui sont données, ou en recherchant des propriétés qui permettraient de déduire celles qu'on cherche à démontrer. Cet enrichissement amène éventuellement à considérer de nouveaux objets géométriques qui ne faisaient pas partie de la description initiale.

Les outils pour démontrer sont des énoncés (axiomes ou théorèmes) qui sont représentés par des figures clés qu'il s'agit de reconnaître dans la figure en général plus complexe du problème cherché. Dans un théorème, une figure clé a deux codages : celui des hypothèses et celui de la conclusion ; il s'agit donc d'identifier dans la figure du problème des figures clés avec l'un de leurs codages qui figure dans un répertoire connu. Si c'est le codage des hypothèses, on pourra enrichir la figure de nouveaux codes (ceux des conclusion). Si c'est le codage des conclusions, il faut rechercher le code des hypothèses comme conclusion d'une autre figure clé codée.  

 

Les figures-clés  peuvent ainsi être considérées comme des instruments permettant de construire du code.

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