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L'enseignement de la symétrie axiale est-il envisageable avant une évolution certaine du regard sur une figure? 

 

Tant qu'un élève ne sera pas capable de dé-construire une figure en éléments rectilignes ou circulaires, il ne sera pas capable de reconstruire une figure à l'aide des instruments de tracé, il ne sera pas capable de produire une figure symétrique à l'aide des instruments de tracé, il ne sera pas capable d'utiliser la symétrie axiale en tant que transformation ponctuelle.

S'il n'est pas possible de faire comprendre immédiatement la notion de symétrie ponctuelle, une initiation à cette symétrie est à envisager. Comment? Différenes approches sont possibles à partir de différentes actions sur du matériel.

Les IO nous invitent à introduire le pliage comme moyen permettant d'initier les élèves à la notion de symétrie orthogonale ou symétrie axiale.

Cependant, le pliage seul n'est pas suffisant pour initier les élèves à la symétrie. Le pliage est une action qui se passe dans l'espace, sur des objets plats qui ont deux faces et nous distinguerons deux cas en fonction de la transparence, de l'opacité du support de tracé des figures.

Le pliage est accompagné d'un découpage si le support est opaque, d'un décalquage si le support est transparent, sinon en pliant et en dépliant  le support, en dehors du trait de pliage, rien de nouveau n'apparaît.

Pliage d'un support opaque et découpage pour produire des figures symétriques.

Le pliage accompagné du découpage est une pratique assez courante dans les classes.

L'action de découpage d'une surface dessinée sur un support opaque est complexe, complexe même lorsque l'on ne plie pas le support contenant la figure dessinée. Le découpage de la figure dessinée sur un support  provoque la séparation du support en deux objets de l'espace liés entre eux et  à la figure: l'un est un gabarit avec son contour, l'autre est un pochoir (le support troué) avec son contour (celui du trou). Le gabarit et le pochoir ayant deux faces, un seul découpage de la figure génère 4 lignes planes fermées chacune ayant sa propre signification comme bord d'une surface.

Si l'on considère maintenant qu'avant de découper la figure on plie le support alors un seul découpage génère plus de 4 lignes fermées.

Le découpage est une action qui s'effectue dans l'espace, il permet de passer d'un objet 2D à plusieurs objets 3D. Le pliage est aussi une action qui s'effectue dans l'espace et il permet de passer d'un objet 2D à un autre objet 2D.

Distinguer les deux faces d'un gabarit est nécessaire pour construire la notion de figure symétrique, car il faut réussir à faire comprendre que si ces deux faces sont "confondables" alors les figures associées à chacune de ces deux faces sont les mêmes, elles sont uniques et sont une figure symétrique.

Si ces explications ne sont pas éclairantes,  relire l'article: ...

En maternelle la distinction entre les deux faces n'étant pas construite, le plus souvent seules des formes symétriques sont proposées  pour des activités, à moins qu'une des deux faces ne puisse être accessible.

lire les articles: MJ et Gilles sur les Napperons

Pliage et décalquage sur un support transparent pour produire des figures symétriques.

Si on ne découpe pas, décalquer est une action nécessaire car après avoir plié il faut bien déplier et sans décalquage ni découpage le seul enrichissement de la figure est le trait laissé par le pliage. (Ce trait de pliage n'a aucune raison d'être appelé "axe de symétrie", à moins de réduire la notion de symétrie axiale ponctuelle à celle du pliage).

Déposer de la peinture sur une feuille, plier, déplier et observer est une pratique spectaculaire qui introduit bien la notion de figure symétrique, mais a-t-on dans ce cas décalqué ? Ici avec l'écrasement de la peinture il y a un double écrasement, disons un "double décalquage", d'un côté sur l'autre et de l'autre sur l'un, mais réservons le décalquage aux actions qui préservent les propriétés métriques qui respectent la forme, qui ne déforment pas.

Pour obtenir une figure symétrique en pliant et décalquant, il faut décalquer de l'autre côté les parties qui n'apparaissent pas des deux côtés du pli en se superposant. Vérifier la superposition suppose une transparence suffisante du papier. L'action de décalquer peut se manifester de deux manières:

  • Soit un calque est posé sur une encre encore "humide" (c'est un usage des tampons) et on décalque (on copie d'un calque à un autre calque) mais ici on obtient le retourné de la figure ou la figure à l'envers.
  • Soit un calque est posé sur une encre bien sèche et on décalque la figure à l'endroit à l'aide d'un crayon...

 

Le pliage seul pour construire des figures symétriques.

On peut obtenir des figures symétriques par pliage seul, par exemple un carré à partir d'un rectangle en faisant coïncider une largeur du rectangle avec une partie d'une longueur (sommet sur sommet); le pli sera une diagonale du carré.

Les pliages sont de trois types:
  • On plie autour du support d'un segment.
  • On plie en amenant un point du gabarit transparent sur un autre et on lisse. ( Les élèves de collège apprennent à lier les deux manières.)
  • On plie en faisant coïncider deux supports de segments d'un gabarit transparent. 

Le pliage d'une feuille de papier pour construire des cocottes en papier, avions, salières, grenouille,... sont bien venus.

Les supports sont opaques et les pliages possibles ne sont que ceux permis avec des informations accessibles par les bords du support.

 

Le décalquage seul pour construire des figures symétriques.

Sans découper, sans plier uniquement en décalquant nous allons montrer qu'il est possible de réaliser une figure symétrique. Lorsque l'on saura tracer la droite qui va nous permettre de plier alors on pourra utiliser le pliage pour vérifier la symétrie.

Les élèves ont commencé à apprendre à décalquer au Cycle 1 en reproduisant le contour d'un gabarit ou en graphisme en reproduisant des modèles d'écriture. 

Ci-dessous des étapes d'une progression pour produire des figures symétriques en décalquant et en posant des calques transparents ( les activités proposées dans les animations ci-dessous peuvent aussi être réalisées sur papier si vous imprimez les figures). 

Pour comprendre à fabriquer avec des calques, des figures symétriques.

En marche pour fabriquer des figures symétriques.

Fabriquer des figures symétriques.

Dessins sur quadrillage:

La construction, la reproduction de dessins sur une feuille de papier quadrillée sont des activités propices à la mise en oeuvre de compétences spatiales premières comme la conservation des rapports topologiques ou métriques.

La représentation d'une figure comme itinéraire est privilégiée.

Une orientation et un langage sont nécessaires pour rendre compte des pratiques diverses de dessin sur quadrillage.

Des variations relatives au repérage sur quadrillage sont possibles.

Des modifications d'itinéraires sont possibles en permutant (droite, haut, gauche, bas) qui permettent de construire la figure retournée d'une figure.

En maîtrisant le départ et l'arrivée d'un itinéraire il est même possible d'arriver à produire des dessins symétriques, des dessins symétriques à un dessin donné.

Pour généraliser, dans le cas où la figure ne rencontre pas l'axe, il faut être capable de compléter un dessin pour le connecter à un axe.

Si une déconstruction du contour est possible et si l'itinéraire peut être conçu à partir de quelques singularités alors cette approche peut être un raccourci qui évite de sortir du plan de la figure, qui évite donc d'aborder les difficultés relatives aux deux faces d'une "forme". Si un élève a appris à produire le symétrique d'un point par rapport à un axe sur une feuille quadrillée alors il pourra construire le symétrique d'une figure par rapport à un axe à condition qu'il soit capable d'identifier les points à partir desquels il peut reconstruire la figure complète en utilisant les instruments à sa disposition (en général la règle suffit).

Un des problèmes pour cette approche de la symétrie sur papier quadrillé sera son transfert au plan non quadrillé.

 
Les instruments usuels de géométrie pour construire ou restaurer des figures symétriques en mobilisant les propriétés de ces figures.

Ici nous agissons sans pliage, sans découpage, sans décalquage, sans retournement, sans règle graduée, sur papier blanc avec les instruments de tracé usuels. Il faut alors utiliser les propriétés géométriques que ces instruments permettent de réaliser sur le papier (égalité de longueurs pour le compas, angle droit pour l'équerre etc.) Comment passer du pliage et du retournement de figures sur calque à la construction avec les instruments?

Pour cela nous installons un jeu de malus, qui tient compte du coût d'utilisation des instruments,  tel que seuls les instruments usuels pourront être utilisés ( à développer).

Ces jeux de malus, auront pour fonction de mettre en valeur les propriétés des figures symétriques. Il faut être capable d'utiliser ces propriétés pour diminuer le coût de construction ou de restauration d'une figure.

 Voici quelques exemples de figures à restaurer:   plume;

Voici une liste de propriétés spécifiques aux figures symétriques:

  • Si deux points sont fixes, alors tous les points fixes sont sur la droite qui passe par ces deux points (c'est l'axe de symétrie).
  • La symétrie conserve les alignements.
  • La symétrie conserve les longueurs.
  • La droite qui joint deux points symétriques est perpendiculaire à l'axe...

Même si ces propriétés ne sont pas explicitées sous cette forme, celles-ci sont perçues et utilisées dans les productions des élèves. Leur explication est au programme de sixième.

   

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