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Avant de voir une figure comme un ensemble de lignes et de points, un élève a déjà perçu une figure comme un assemblage de surfaces.

 

 A l’école maternelle et au primaire on lui a demandé de reconnaître, de classer des formes, de les reproduire, de les construire en se servant d’instruments qui ne sont pas uniquement la règle et le compas.

 Citons quelques autres instruments: gabarits, gabarits déchirés, équerre, compas d'angle... voir le texte sur les instruments ). Les instruments fournis aux élèves doivent être choisis en fonction des capacités des élèves.

 

Au collège, on va progressivement demander aux élèves de faire des démonstrations, en raisonnant sur des figures qui pourront être perçues avec des regards différents. Voir des regards différents du carré..

Une démonstration suppose le choix d'une théorie, un langage, des définitions qui relient les mots de ce langage, des propositions premières admises(axiomes), des théorèmes démontrés avec les axiomes, d'autres propositions démontrées à l'aide de lois de la logique et des théorèmes.

Évidemment, les définitions s’enrichissent en s’appuyant sur les axiomes et théorèmes et la théorie (vue comme l’ensemble des axiomes) reste implicite au collège (peut-être même pour le professeur !).

D’ailleurs la théorie qui donne la cohérence aux programmes a pu changer au fil des programmes.

Cependant, une constante apparaît : les énoncés, que ce soient des définitions ou des théorèmes, se formulent en général comme des relations entre des lignes (droites ou cercles) et des points. Néanmoins, ces énoncés décrivent des propriétés de figures qui, quand elles sont dessinées sur papier ou sur écran, n’apparaissent pas au premier coup d’œil comme un réseau de lignes et de points mais peuvent apparaître comme des juxtapositions ou superpositions de surfaces. De plus, pour utiliser les énoncés nécessaires à la démonstration, il faut généralement faire intervenir des éléments qui ne sont pas tracés ou en oublier d’autres (isoler une sous-figure).

En un mot, pour faire une démonstration, il faut être capable de porter un regard géométrique sur la figure, ce qui suppose aussi une certaine flexibilité de ce regard : la capacité à changer de regard et à articuler plusieurs regards sur la figure.

 

A l’entrée en sixième, la plupart des élèves ne disposent pas encore de cette flexibilité du regard sur la figure.

Comment le leur faire acquérir ? Nous proposons des activités regroupées sous le titre de restauration de figures qui répondent à cet objectif avec une progression de la maternelle au collège. La restauration de figure correspond à la reproduction avec des instruments d’une figure dont on a un modèle et dont une partie (que nous appellerons parfois amorce) est déjà fournie directement ou par un gabarit qui permet d’en reporter une partie.

 

Dans la restauration de figure, on peut jouer sur les variables: figure, amorce, instruments. Suivant les choix faits de ces variables, la restauration demande plus ou moins de connaissances géométriques.

Pour les instruments, on peut laisser tous les d’instruments à disposition mais leur attribuer un coût d’utilisation (voir coût des instruments)  : ainsi les élèves peuvent partir d’une procédure de base éventuellement coûteuse et essayer d’en améliorer le coût. Le coût des instruments est choisi en fonction des propriétés qu’on veut faire travailler aux élèves (alignement, conservation des longueurs, rapports de longueurs, perpendicularité, symétrie axiale ou centrale).